(Cụm trường Nghệ An 2025) Cho khối chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật với $ AB=6,\,\,AD=10 $. Hình chiếu vuông góc của $ S $ xuống mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ trùng với tâm $ O $ của đáy $ ABCD $ và chiều cao của hình chóp là $ \sqrt[] { 5 } $. Tính góc nhị diện $ \left[ A,SB,C \right] $ (làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị đo bằng độ).

Gọi $ I,\,\,J $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ BC $. Khi đó $ OIBJ $ là hình chữ nhật. Dựng hệ trục tọa độ $ Oxyz $ như hình vẽ trên với $ O\left ( { 0;0;0 } \right ),\,\,I\left ( { 0;5;0 } \right ),\,\,J\left ( { 3;0;0 } \right ),\,\,B\left ( { 3;5;0 } \right ) $, $ S\left ( { 0;0;\sqrt[] { 5 } } \right ) $. Ta có $ \left[ A,SB,C \right]=\left[ I,SB,J \right] $. $ \overset\rightarrow { SI }=\left ( { 0;5;-\sqrt[] { 5 } } \right ) $, $ \overset\rightarrow { SB }=\left ( { 3;5;-\sqrt[] { 5 } } \right ) $, $ \overset\rightarrow { SJ }=\left ( { 3;0;-\sqrt[] { 5 } } \right ) $. Mặt phẳng $ \left ( { SIB } \right ) $ có VTPT $ \overset\rightarrow { n_{ 1 } }=\left[ \overset\rightarrow { SI },\overset\rightarrow { SB } \right]=\left ( { 0;-3\sqrt[] { 5 };-15 } \right ) $. Mặt phẳng $ \left ( { SJB } \right ) $ có VTPT $ \overset\rightarrow { n_{ 2 } }=\left[ \overset\rightarrow { SJ },\overset\rightarrow { SB } \right]=\left ( { 4\sqrt[] { 5 };0;12 } \right ) $. $ \cos\left ( { \overset\rightarrow { n_{ 1 } },\overset\rightarrow { n_{ 2 } } } \right )=\frac { \overset\rightarrow { n_{ 1 } }.\overset\rightarrow { n_{ 2 } } } { \left | { \overset\rightarrow { n_{ 1 } } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { n_{ 2 } } } \right | }=\frac { 0.4\sqrt[] { 5 }-3\sqrt[] { 5 }.0-15.12 } { \sqrt[] { 0 ^ { 2 } +\left ( { -3\sqrt[] { 5 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -15 } \right ) ^ { 2 } }.\sqrt[] { \left ( { 4\sqrt[] { 5 } } \right ) ^ { 2 } +0 ^ { 2 } +12 ^ { 2 } } }=\frac { -\sqrt[] { 105 } } { 14 } $. Vậy $ \left[ A,SB,C \right]≈137 ^ { ° } $.