(Cụm trường Hưng Yên 2025) Cho hình chop đều $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh bằng $ a\sqrt[] { 2 } $, cạnh bên $ SA=2a $. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { SDC } \right ) $ và $ \left ( { SAC } \right ) $ bằng $ \sqrt[] { \frac { b } { c } } $ với phân số $ \frac { b } { c } $ tối giản, $ b>0 $, $ c>0 $. Tính $ T=b+2c $.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Do tam giác $ ABC $ vuông cân tại $ B $ nên $ AC=AB.\sqrt[] { 2 }=2a ⇒OA=OC=a $ Xét tam giác vuông $ SAO $ ta có: $ SO=\sqrt[] { SA ^ { 2 } -OA ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 3 } $. Khi đó $ C\left ( { a;0;0 } \right ) $; $ A\left ( { -a;0;0 } \right ) $; $ S\left ( { 0;0;a\sqrt[] { 3 } } \right ) $; $ D\left ( { 0;-a;0 } \right ) $ ta có: $ \overset\rightarrow { CA }=\left ( { -2a;0;0 } \right ) $; $ \overset\rightarrow { CS }=\left ( { -a;0;a\sqrt[] { 3 } } \right ) $; $ \overset\rightarrow { CD }=\left ( { -a;-a;0 } \right ) $ VTPT của mặt phẳng $ \left ( { SCA } \right ) $ là: $ \overset\rightarrow { n }=\left[ \overset\rightarrow { CS },\overset\rightarrow { CA } \right]=\left ( { 0;2\sqrt[] { 3 }a ^ { 2 } ;0 } \right ) $ VTPT của mặt phẳng $ \left ( { SCD } \right ) $ là: $ \overset\rightarrow { m }=\left[ \overset\rightarrow { CS },\overset\rightarrow { CD } \right]=\left ( { \sqrt[] { 3 }a ^ { 2 } ;-\sqrt[] { 3 }a ^ { 2 } ;a ^ { 2 } } \right ) $ Đặt $ φ=\left ( { \left ( { SCA } \right );\left ( { SCD } \right ) } \right ) $, ta có: $ \cosφ=\left | { \cos\left ( { \overset\rightarrow { n },\overset\rightarrow { m } } \right ) } \right | $$ =\frac { \left | { 6 } \right | } { \sqrt[] { \left ( { 2\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } }.\sqrt[] { \left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } +1 ^ { 2 } } }=\frac { 3 } { \sqrt[] { 21 } }=\sqrt[] { \frac { 3 } { 7 } } $ $ T=3+2.7=17 $.