Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật với $ AB=a,\,AD=2a $. Hình chiếu vuông góc của $ S $ trên mặt phẳng đáy là trung điểm $ H $ của $ AD $, góc giữa $ SB $ và mặt phẳng đáy $ \left ( { ABCD } \right ) $ là $ 45° $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ SD $và $ BH $ theo $ a $ được kết quả là $ ma $. Khi đó giá trị $ \frac { 3 } { 5 }m ^ { 2 } $ bằng bao nhiêu?

Hình chiếu vuông góc của $ S $ trên mặt phẳng đáy là trung điểm $ H $ của $ AD $, góc giữa $ SB $ và mặt phẳng đáy $ \left ( { ABCD } \right ) $ là $ ⇒ \widehat { \left ( { SB,\left ( { ABCD } \right ) } \right ) }= \widehat { SBH }=45° $ Ta có $ AB=a,\,AH=a⇒SH=HB=\sqrt[] { 2 }a $ Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $ $ ⇒HDCM $là hình vuông tâm $ O ⇒HC⊥DM,\,DM//HB $ $ ⇒HB//\left ( { SDM } \right ) $ Có$ \left \{ \begin{array}{l} HC⊥DM \\ SH⊥DM \end{array} \right.⇒DM⊥\left ( { SHC } \right ) $ Kẻ $ HI⊥SO⇒HI⊥\left ( { SDM } \right )⇒d\left ( { HB,SD } \right )=d\left ( { HB,\left ( { SMD } \right ) } \right )=d\left ( { H,\left ( { SMD } \right ) } \right )=HI $ $ HO=\frac { 1 } { 2 }HC=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }a⇒HI=\frac { SH.HO } { \sqrt[] { SH ^ { 2 } +HO ^ { 2 } } }=\frac { \sqrt[] { 2 }.\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } } { \sqrt[] { 2+\frac { 2 } { 4 } } }a=\frac { \sqrt[] { 10 } } { 5 }a $ $ ⇒d\left ( { HB,SD } \right )=\frac { \sqrt[] { 10 } } { 5 }a⇒m=\frac { \sqrt[] { 10 } } { 5 }⇒\frac { 3 } { 5 }m ^ { 2 } =0,24 $