Cho hình chóp đều $ S.ABC $ có $ SA=a $. Gọi $ D,E $ lần lượt là trung điểm của $ SA,SC $ biết $ BD $ vuông góc với $ AE $. Thể tích khối chóp $ S.ABC $ theo$ a $ là $ \frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { m } } { n } $. Tính giá trị của $ m+n. $

Gọi $ P $ là trung điểm của $ SE $, ta có $ DP{ \rm{ // } }AE⇒DP⊥BD $ suy ra tam giác $ BDP $ vuông tại $ D $ Đặt $ AB=x\left ( { x>0 } \right ) $ Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến ta có: $ AE ^ { 2 } =BE ^ { 2 } =BD ^ { 2 } =\frac { BA ^ { 2 } +BS ^ { 2 } } { 2 }-\frac { SA ^ { 2 } } { 4 }=\frac { x ^ { 2 } +a ^ { 2 } } { 2 }-\frac { a ^ { 2 } } { 4 }=\frac { a ^ { 2 } +2x ^ { 2 } } { 4 } $ $ BP ^ { 2 } =\frac { BS ^ { 2 } +BE ^ { 2 } } { 2 }-\frac { SE ^ { 2 } } { 4 }=\frac { a ^ { 2 } +\frac { a ^ { 2 } +2x ^ { 2 } } { 4 } } { 2 }-\frac { a ^ { 2 } } { 16 }=\frac { 9a ^ { 2 } } { 16 }+\frac { x ^ { 2 } } { 4 } $ $ DP ^ { 2 } =\frac { AE ^ { 2 } } { 4 }=\frac { 1 } { 4 }.\frac { a ^ { 2 } +2x ^ { 2 } } { 4 }=\frac { a ^ { 2 } +2x ^ { 2 } } { 16 } $ Tam giác $ BDP $ vuông tại $ D $ nên $ BD ^ { 2 } +DP ^ { 2 } =BP ^ { 2 } ⇔\frac { a ^ { 2 } +2x ^ { 2 } } { 4 }+\frac { a ^ { 2 } +2x ^ { 2 } } { 16 }=\frac { 9a ^ { 2 } } { 16 }+\frac { x ^ { 2 } } { 4 }⇔x=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 } $ Gọi $ I $ là trung điểm của $ BC $ nên $ O $ là tâm của tam giác đều$ ABC $ ta có $ SO⊥\left ( { ABC } \right ) $ $ AI=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }.AB=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }.\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 };AO=\frac { 2 } { 3 }AI=\frac { 2 } { 3 }.\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 3 } $ $ SO=\sqrt[] { SB ^ { 2 } -AO ^ { 2 } }=\sqrt[] { a ^ { 2 } -\left ( { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 3 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 7 } } { 3 } $ $ V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }SO.S_{ ΔABC } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { a\sqrt[] { 7 } } { 3 }.\left ( { \frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 } } \right ) ^ { 2 } .\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 21 } } { 54 }. $ Vậy $ m+n=21+54=75 $.