Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình thoi và $AA'=6, AB=AC=3$. a) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(BCC'B')$. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $A'C$.

Lời giải a) Kẻ $AS \perp BC$ ($S \in BC$). Khi đó: $$ \left\{ \begin{array}{l} AS \perp BC \\ AS \perp BB' \end{array} \right. \Rightarrow AS \perp (BCC'B') $$ Nên khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BCC'B')$ là đoạn $AS$. Ta có $ABCD$ là hình thoi và $AB=AC=3$ nên tam giác $ABC$ đều, $AS$ là đường cao. $$ AS = \frac{3\sqrt{3}}{2} $$ b) Kẻ $OH \perp A'C$ ($H \in A'C$). Ta có $BD \perp (AA'C'C)$, nên $BD \perp OH$. Vậy $OH$ là đoạn vuông góc chung của $BD$ và $A'C$. Kẻ $AI \perp A'C$ ($I \in A'C$). Khi đó $OH = \frac{1}{2} AI$ (do $O$ là trung điểm $AC$). Xét $\triangle AA'C$ vuông tại $A$ có $AI$ là đường cao: $$ AI = \frac{AA' \cdot AC}{\sqrt{AA'^2 + AC^2}} = \frac{6 \cdot 3}{\sqrt{6^2 + 3^2}} = \frac{18}{\sqrt{45}} = \frac{18}{3\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5} $$ $$ OH = \frac{1}{2} AI = \frac{3\sqrt{5}}{5} $$