(THPT Yên Lạc - Vĩnh Phúc 2025) Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $AA'=2\sqrt[3]{26}$, tam giác $ABC$ vuông tại $C$ và $\widehat{BAC}=60^{\circ}$, góc giữa cạnh bên $BB'$ và mặt đáy $(ABC)$ bằng $60^{\circ}$. Hình chiếu vuông góc của $B'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trọng tâm của tam giác $ABC$. Tính thể tích của khối tứ diện $A'ABC$.

Lời giải Gọi $G$ là trọng tâm của $\triangle ABC$, $M$ là trung điểm của $AC$. Hình chiếu của $B'$ lên $(ABC)$ là $G$, suy ra $B'G \perp (ABC)$. Góc giữa $BB'$ và $(ABC)$ là $\widehat{B'BG} = 60^{\circ}$. Xét $\triangle B'BG$ vuông tại $G$: $$ B'G = BB' \cdot \sin 60^{\circ} = 2\sqrt[3]{26} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{26} $$ $$ BG = BB' \cdot \cos 60^{\circ} = \sqrt[3]{26} $$ Vì $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$ nên $BM = \frac{3}{2}BG = \frac{3}{2} \sqrt[3]{26}$. Xét $\triangle ABC$ vuông tại $C$: $$ BC = AC \cdot \tan 60^{\circ} = AC \sqrt{3} $$ Trong $\triangle MBC$ vuông tại $C$: $$ BM^{2} = BC^{2} + MC^{2} = 3AC^{2} + \frac{AC^{2}}{4} = \frac{13}{4}AC^{2} $$ $$ AC^{2} = \frac{4}{13} BM^{2} = \frac{4}{13} \cdot \frac{9}{4} \cdot (\sqrt[3]{26})^{2} = \frac{9}{13} \cdot \sqrt[3]{26^{2}} $$ Diện tích $\triangle ABC$: $$ S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} AC \cdot AC\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} AC^{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{9}{13} \cdot \sqrt[3]{26^{2}} = \frac{9\sqrt{3}}{26} \cdot \sqrt[3]{26^{2}} $$ Vì $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ nên $AA'$, $BB'$, $CC'$ song song và bằng nhau, do đó khoảng cách từ $A'$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng khoảng cách từ $B'$ đến mặt phẳng đó: $$ h = B'G = \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{26} $$ Thể tích khối tứ diện $A'ABC$: $$ V_{A'ABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{26} \cdot \sqrt[3]{26^{2}} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{26} = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{26} \cdot 26 = 9. $$