(THPT Triệu Sơn 1-Thanh Hóa 2025) Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ A,AB=AC=a, $ $ \widehat { SBA }= \widehat { SCA }=90° $ và khoảng cách từ điểm $ B $ đến mặt phẳng $ \left ( { SAC } \right ) $ bằng $ \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $. Tính $ \cos\left[ A,SB,C \right] $ làm tròn đến hàng phần trăm.

+) Gọi $ D $ là hình chiếu vuông góc của $ S $ lên mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) ⇒SD⊥\left ( { ABC } \right ) $ Ta có $ SD⊥AB,AB⊥AB⇒AB⊥DB $ Tương tự $ SD⊥AC,SC⊥AC⇒AC⊥DC $ Suy ra $ ABDC $ là hình chữ nhật, mặt khác $ AB=AC=a⇒ABDC $ là hình vuông cạnh $ a $. +) Trong tam giác $ SDC, $ kẻ $ DE⊥SC $ Ta có $ AC⊥\left ( { SDC } \right )⇒AC⊥DE,SC⊥DE⇒DE⊥\left ( { SAC } \right ) ⇒d\left ( { D,\left ( { SAC } \right ) } \right )=DE $ Lại có $ BD{ \rm{ // } }AC,AC⊂\left ( { SAC } \right )⇒BD{ \rm{ // } }\left ( { SAC } \right ) $ $ ⇒d\left ( { B,\left ( { SAC } \right ) } \right )=d\left ( { D,\left ( { SAC } \right ) } \right )=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }=DE $. +) Tam giác $ SDC $ vuông tại $ D, $ có $ DE⊥SC $ nên $ \frac { 1 } { DE ^ { 2 } }=\frac { 1 } { DC ^ { 2 } }+\frac { 1 } { SD ^ { 2 } } $ $ ⇒SD=\frac { DC.DE } { \sqrt[] { DC ^ { 2 } -DE ^ { 2 } } }=\frac { a.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } { \sqrt[] { a ^ { 2 } -\left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } } }=\sqrt[] { 3 }a $. +) Gọi $ O=AC∩BD, $ trong $ \left ( { SDO } \right ) $ kẻ $ DK⊥SO $ Ta có $ BC⊥AD,BC⊥SD⇒BC⊥\left ( { SDO } \right ),DK⊂\left ( { SDO } \right )⇒BC⊥DK $ $ ⇒DK⊥\left ( { SBC } \right )⇒d\left ( { D,\left ( { SBC } \right ) } \right )=DK=\frac { DO.DS } { \sqrt[] { DO ^ { 2 } +DS ^ { 2 } } } $, với $ OD=\frac { 1 } { 2 }AD=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $ $ ⇒DK=\frac { \sqrt[] { 21 }a } { 7 } $. +) Trong mặt phẳng $ \left ( { SAD } \right ), $ kẻ $ AH{ \rm{ // } }DK\,\left ( { H\in SO } \right )⇒AH⊥\left ( { SBC } \right ) $ và $ AH=DK=\frac { \sqrt[] { 21 }a } { 7 } $$ ⇒AH⊥SB,AB⊥SB⇒SB⊥BH $ $ ⇒ \widehat { ABH } $ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $ \left[ A,SB,C \right] $. Tam giác $ AHB $ vuông tại $ H⇒BH=\sqrt[] { AB ^ { 2 } -AH ^ { 2 } }=\frac { 2\sqrt[] { 7 }a } { 7 } $. Suy ra $ cos \widehat { ABH }=\frac { BH } { AB }=\frac { 2\sqrt[] { 7 } } { 7 }≈0,76 $. Vậy $ cos\left[ A,SB,C \right]=0,76. $