Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $ 1 $. Gọi $ I $ là trung điểm của $ AB $, hình chiếu của $ S $ lên mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ là trung điểm của $ CI $, góc giữa $ SA $ và mặt đáy bằng $ 45° $. Gọi $ G $ là trọng tâm tam giác $ SBC $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ SA $ và $ CG $ bằng $ \sqrt[] { \frac { m } { n } } $ với $ m,n\in \mathbb{N}^{*} $, phân số $ \frac { m } { n } $ là phân số tối giản.Tính $ m+n $?

Gọi giao điểm của $ CG $ với $ SB $ là $ M $. Suy ra $ M $ là trung điểm của $ SB $. Gọi $ E $ là chân đường vuông góc hạ từ $ M $ xuống mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $. Ta có $ IM $ là đường trung bình của tam giác $ SAB $, suy ra $ IM{ \rm{ // } }SA $. Suy ra $ d\left ( { SA,CG } \right )=d\left ( { SA,\left ( { IMC } \right ) } \right )=d\left ( { S,\left ( { IMC } \right ) } \right )=d\left ( { B,\left ( { IMC } \right ) } \right ) $. Theo bài ra ta có $ CI=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } $ suy ra $ IH=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 } $. Suy ra $ AH=\sqrt[] { AI ^ { 2 } +IH ^ { 2 } }=\sqrt[] { \frac { 1 } { 4 }+\frac { 3 } { 16 } }=\frac { \sqrt[] { 7 } } { 4 } $. Do góc $ \left ( { \widehat { SA,\left ( { ABC } \right ) } } \right )=45° $ suy ra tam giác $ ΔSHA $ vuông cân tại $ H $. Suy ra $ SH=AH=\frac { \sqrt[] { 7 } } { 4 } $. Suy ra $ SA=AH\sqrt[] { 2 }=\frac { \sqrt[] { 14 } } { 4 } $. Xét tam giác $ ΔSBC $: dễ thấy $ SB=SA=\frac { \sqrt[] { 14 } } { 4 } $. $ SC=SI=\sqrt[] { SH ^ { 2 } +IH ^ { 2 } }=\frac { \sqrt[] { 10 } } { 4 } $. Suy ra $ CM=\sqrt[] { \frac { 2SC ^ { 2 } +2BC ^ { 2 } -SB ^ { 2 } } { 4 } }=\frac { \sqrt[] { 38 } } { 8 } $. Xét tam giác $ ΔIMC $: $ IM=\frac { SA } { 2 }=\frac { \sqrt[] { 14 } } { 8 } $, $ CM=\frac { \sqrt[] { 38 } } { 8 } $, $ CI=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } $. Suy ra $ S_{ ΔIMC } =\frac { \sqrt[] { 33 } } { 32 } $. Thể tích khối chóp $ MIBC $ là: $ V_{ MIBC } =\frac { 1 } { 3 }ME.S_{ ΔIBC } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { SH } { 2 }.\frac { 1 } { 2 }IC.IB=\frac { 1 } { 3 }.\frac { \sqrt[] { 7 } } { 8 }.\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 2 }.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { \sqrt[] { 21 } } { 192 } $. Suy ra $ d\left ( { S,\left ( { MIC } \right ) } \right )=d\left ( { B,\left ( { MIC } \right ) } \right )=\frac { 3V_{ MIBC } } { S_{ ΔIMC } }=\frac { 3.\frac { \sqrt[] { 21 } } { 192 } } { \frac { \sqrt[] { 33 } } { 32 } }=\frac { \sqrt[] { 77 } } { 22 }=\sqrt[] { \frac { 7 } { 44 } } $. Vậy $ m+n=51 $.