(THPT Kinh Môn - Hải Dương 2025) Cho tứ diện đều $ ABCD $ cạnh $ a $. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $ AB $ và $ CI $, với $ I $ là trung điểm của $ AD $ (làm tròn đến hàng phần mười).

Gọi $ M $ là trung điểm của $ CD $. Gọi $ E $ và $ F $ lần lượt là trọng tâm tam giác $ ACD $ và $ BCD $. Ta có $ CI=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 };CE=\frac { 2 } { 3 }CI=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } $; Tương tự $ CF=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } $. Xét $ ΔAMB $ có $ \frac { ME } { MA }=\frac { MF } { MB }=\frac { 1 } { 3 } $. Suy ra $ EF//AB $ $ ⇒ \widehat { \left ( { AB,CI } \right ) }= \widehat { \left ( { EF,CE } \right ) }= \widehat { CEF } $ (Do $ ΔCEF $ cân tại $ C $). Trong $ ΔCEF $ có $ \cos \widehat { CEF }=\frac { EC ^ { 2 } +EF ^ { 2 } -CF ^ { 2 } } { 2⋅EC⋅EF } =\frac { \frac { a ^ { 2 } } { 3 }+\frac { a ^ { 2 } } { 9 }-\frac { a ^ { 2 } } { 3 } } { 2⋅\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 }⋅\frac { a } { 3 } }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 6 }≈0,3 $.