Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông, tam giác $ SAB $ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { SCD } \right ) $ bằng $ \frac { 3\sqrt[] { 7 } } { 7 } $. Tính thể tích $ V $ của khối chóp $ S.ABCD $.

Gọi $ H,\,M $ lần lượt là trung điểm của $ AB,\,CD $. Tam giác $ SAB $ đều, suy ra $ SH⊥AB $, mà $ \left ( { SAB } \right )⊥\left ( { ABCD } \right ) ⇒SH⊥\left ( { ABCD } \right ) $. Gọi $ E $ là hình chiếu của $ H $ trên $ SM $. Suy ra: $ HE⊥SM $ và $ HE⊥CD $(do $ CD⊥\left ( { SHM } \right ) $ vì $ CD⊥SH,\,HM $). Do đó: $ HE⊥\left ( { SCD } \right ) $. Vậy $ d\left ( { H,\,\left ( { SCD } \right ) } \right )=HE=\frac { 3\sqrt[] { 7 } } { 7 } $. Xét tam giác $ SHM $ vuông tại $ H $, có $ MH=AB,\,SH=\frac { AB\sqrt[] { 3 } } { 2 } $. Suy ra: $ \frac { 1 } { HE ^ { 2 } }=\frac { 1 } { HM ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HS ^ { 2 } }=\frac { 7 } { 3AB ^ { 2 } }=\frac { 7 } { 9 } ⇒AB=\sqrt[] { 3 },\,SH=\frac { 3 } { 2 } $. Vậy $ V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }SH.S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { 3 } { 2 }.\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } =1,5 $.