(THPT Lê Xoay - Vĩnh Phúc 2025) Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật $ AB=a $, $ AD=a\sqrt[] { 3 } $. Cạnh bên $ SA $ vuông góc với đáy và $ SA=2a $.

a) Đúng. Ta có $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $ suy ra $ SA $ là đường cao của hình chóp. b) Sai. Kẻ $ AH⊥SD $ $ \left ( { H\in SD } \right ) $ Ta có $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $, $ CD⊂\left ( { ABCD } \right ) $ $ ⇒SA⊥CD $ Mà $ AD⊥CD $, $ SA $ và $ AD $ cắt nhau trong mặt phẳng $ \left ( { SAD } \right ) $ Nên $ CD⊥\left ( { SAD } \right )⇒AH⊥CD $. Do đó $ CD⊥AH $ Lại có $ SD⊥AH $ $ ⇒AH⊥\left ( { SCD } \right ) $ $ ⇒AH $ là khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { SCD } \right ) $ Ta có $ AH=\frac { SA⋅AD } { \sqrt[] { SA ^ { 2 } +AD ^ { 2 } } }=\frac { 2a⋅a\sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 4a ^ { 2 } +3a ^ { 2 } } }=\frac { 2a\sqrt[] { 21 } } { 7 } $. c) Sai. Vì $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $ nên $ V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }⋅SA⋅S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 3 }⋅2a⋅a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 }=\frac { 2a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 3 } $. d) Đúng. $ { \rm{ \cos } }\left ( { SB,AC } \right )=\frac { \left | { \overset\rightarrow { SB }⋅\overset\rightarrow { AC } } \right | } { SB⋅AC } $ Ta có: $ \overset\rightarrow { SB }⋅\overset\rightarrow { AC }=\left ( { \overset\rightarrow { AB }-\overset\rightarrow { AS } } \right )\overset\rightarrow { AB }=AB ^ { 2 } -\overset\rightarrow { AS }⋅\overset\rightarrow { AB }=AB ^ { 2 } =a ^ { 2 } $ Suy ra $ \cos\left ( { SB,AC } \right )=\frac { \left | { a ^ { 2 } } \right | } { a\sqrt[] { 5 }⋅2a }=\frac { 1 } { 2\sqrt[] { 5 } } $ $ \left ( { SB,AC } \right )=77,4° $.