Đúng/Sai · Câu 10
(Sở Hà Tĩnh 2025) Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AC=a, BC=2a, \widehat{ACB}=120^\circ$ có thể tích $V$. Gọi $M$ là trung điểm của $BB'$. Khi đó:
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Sai
- b. Đúng
- c. Đúng
- d. Đúng
Lời giải
a) Sai
b) Đúng
c) Đúng
d) Đúng
Lời giải
a) Ta có $CC' \perp (ABC) \Rightarrow [A, CC', B] = \widehat{ACB} = 120^\circ$. Mệnh đề a sai.
b) Khoảng cách giữa hai mặt đáy lăng trụ bằng $2a$ nên $AA'=2a$.
Thể tích khối lăng trụ là:
$$
V = AA' \cdot S_{ABC} = 2a \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2a \cdot \sin120^\circ = \sqrt{3}a^3
$$
Mệnh đề b đúng.
c) Ta có:
$$
V_{M.ABC} = \frac{1}{3} \cdot MB \cdot S_{ABC} = \frac{1}{6} \cdot BB' \cdot S_{ABC} = \frac{1}{6} \cdot AA' \cdot S_{ABC} = \frac{1}{6}V
$$
Mệnh đề c đúng.
d) Kẻ $C'H \perp A'B'$. Do $(A'B'C') \perp (ABB'A')$ nên $C'H \perp (ABB'A') \Rightarrow d(C', (ABB'A')) = C'H$.
Ta có:
$$
A'B'^2 = AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC \cdot BC \cdot \cos C = a^2 + 4a^2 - 2 \cdot a \cdot 2a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 7a^2
$$
$$
\Rightarrow A'B' = a\sqrt{7} \Rightarrow C'H = \frac{2 \cdot S_{A'B'C'}}{A'B'} = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{A'B'} = \frac{\sqrt{3}a^2}{\sqrt{7}a} = \frac{\sqrt{21}a}{7}
$$
Mệnh đề d đúng.