Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $\sqrt{2}$. Cạnh $BA'=\sqrt{6}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B$ và $B'C$ là (làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$. Khi đó $A'B \parallel B'D$. $$ d(A'B, B'C) = d(A'B, (B'CD)) = d(B, (B'CD)) $$ Dựng $BK \perp CD$ ($K \in CD$), dựng $BH \perp B'K$ ($H \in B'K$). Khi đó $d(B, (B'CD)) = BH$. Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ vì $BA=BC=BD$ (với $B$ là trung điểm $AD$), nên $K$ là trung điểm $CD$, $BK = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Mặt khác $BB'^2 = A'B^2 - AB^2 = 6 - 2 = 4 \Rightarrow BB' = 2$. Xét tam giác $BB'K$ vuông tại $B$: $$ \frac{1}{BH^2} = \frac{1}{BK^2} + \frac{1}{BB'^2} = \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} + \frac{1}{2^2} = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4} $$ $$ BH^2 = \frac{4}{9} \Rightarrow BH = \frac{2}{3} \approx 0,67 $$