(Sở Bắc Giang 2025) Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy$ ABC,SAB $ là các tam giác đều và mặt bên $ \left ( { SAB } \right ) $vuông góc với mặt đáy. Gọi $ \alpha $ là số đo của góc phẳng nhị diện $ \left[ S,BC,A \right] $. Tính $ \cos ^ { 2 } \alpha $.

Gọi $ H,M $ lần lượt là trung điểm của $ AB,BC $. Khi đó $ SH⊥\left ( { ABC } \right ) $. Kẻ $ HK⊥BC⇒BC⊥\left ( { SHM } \right )⇒BC⊥SM $. Góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $ \left[ S,BC,A \right] $ là góc $ SKH $. Vì $ ΔSKH $ vuông tại $ H $ nên $ \tan\alpha =\frac { SH } { HK } $. Ta có $ HK=\frac { 1 } { 2 }AM=\frac { 1 } { 2 }⋅\frac { AB\sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { AB\sqrt[] { 3 } } { 4 };SH=\frac { AB\sqrt[] { 3 } } { 2 } $. Suy ra $ \tan\alpha =\frac { SH } { HK }=2 $. Do đó $ 1+\tan ^ { 2 } \alpha =\frac { 1 } { \cos ^ { 2 } \alpha }⇒\cos ^ { 2 } \alpha =\frac { 1 } { 1+\tan ^ { 2 } \alpha }=\frac { 1 } { 5 }=0,2 $