(Sở Ninh Bình 2025) Một kỹ sư thiết kế mô hình trang trí cho một sân khấu nổi có dạng hình lập phương $ ABCD.A_{ 1 } B_{ 1 } C_{ 1 } D_{ 1 } $ với độ dài các cạnh bằng 5 m. Để tạo ra nét độc đáo cho sân khấu, người kỹ sư muốn thiết kế một dàn đèn ánh sáng nối từ một điểm $ M $ trên đoạn thẳng $ AD_{ 1 } $ xuống một điểm $ N $ trên đoạn thẳng $ BD $ thỏa mãn $ AM=DN. $ Dàn đèn ánh sáng có chiều dài ngắn nhất là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Độ dài của đoạn thẳng $ MN $ chính là chiều dài của dàn đèn. Đặt $ AM=DN=a\sqrt[] { 2 } $ (với $ 0 < a < 5 $). Gắn hệ trục tọa độ $ Oxyz $ sao cho gốc $ O $ trùng với đỉnh $ A, $ các đỉnh $ B $, $ D $, $ A_{ 1 } $ lần lượt thuộc các tia $ Ox $, $ Oy $, $ Oz $ như hình vẽ. Ta có $ M=\left ( { 0\,;a\,;a } \right ) $ và $ N=\left ( { a;5-a;0 } \right ). $ $ MN=\sqrt[] { \left ( { 0-a } \right ) ^ { 2 } +\left[ a-\left ( { 5-a } \right ) \right] ^ { 2 } +\left ( { a-0 } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 6a ^ { 2 } -20a+25 }=\sqrt[] { 6\left ( { a-\frac { 5 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } +\frac { 25 } { 3 } }\geq \frac { 5\sqrt[] { 3 } } { 3 }. $ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $ a=\frac { 5 } { 3 }. $ Vậy, độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $ MN $ cũng chính là độ dài ngắn nhất của dàn đèn là $ \frac { 5\sqrt[] { 3 } } { 3 }≈2,89 $(m).