Công ty sữa cần làm các lon đựng sữa hình trụ có thể tích 800 $ cm ^ { 3 } $ (lon sữa có nắp và bỏ qua việc gấp mí). Để chi phí vật liệu ( thiếc) làm hộp sữa nhỏ nhất, cần thiết kế hộp sữa có bán kính bao nhiêu $ cm $? (chính xác đến hàng phần trăm)

Gọi $ R $ ($ R>0 $) là bán kính của hình trụ; $ h $ là chiều cao của hình trụ. Thể tích của lon sữa là: $ V=\pi R ^ { 2 } h⇒h=\frac { V } { \pi R ^ { 2 } } $. Diện tích toàn phần của lon sữa là: $ S_{ tp } =2\pi R ^ { 2 } +2\pi Rl $, vì $ l=h=\frac { V } { \pi R ^ { 2 } } $ nên: $ S_{ tp } =2\pi R ^ { 2 } +2\pi Rl=2\pi R ^ { 2 } +2\pi R.\frac { V } { \pi R ^ { 2 } }=2\pi R ^ { 2 } +2\frac { V } { R } $. Chi phí vật liệu làm hộp sữa nhỏ nhất khi $ S_{ tp } $ nhỏ nhất. Áp dụng bất đẳng thức $ Cauchy $ ta có: $ S_{ tp } =2\pi R ^ { 2 } +2\frac { V } { R }=2\pi R ^ { 2 } +\frac { V } { R }+\frac { V } { R }\geq 3\sqrt[3] { 2\pi R ^ { 2 } .\frac { V } { R }.\frac { V } { R } }=3\sqrt[3] { 2\pi V ^ { 2 } }=3.\sqrt[3] { 2\pi .800 ^ { 2 } } $ $ S_{ tp } $ nhỏ nhất bằng $ 3.\sqrt[3] { 2\pi .800 ^ { 2 } } $ khi và chỉ khi $ \frac { V } { R }=2\pi R ^ { 2 } ⇔R ^ { 3 } =\frac { V } { 2\pi }⇔R=\sqrt[3] { \frac { V } { 2\pi } }=\sqrt[3] { \frac { 800 } { 2\pi } }≈5,03(cm) $.