Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ 3,{ \rm{ } }SA $ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết số đo của góc nhị diện $ \left[ B,SC,D \right] $ bằng $ 120° $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.

Gọi $ O $ là tâm của hình vuông $ ABCD $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} BD⊥AC \\ BD⊥SA \end{array} \right.⇒BD⊥\left ( { SAC } \right )⇒BD⊥SC $. Dựng $ BM⊥SC⇒SC⊥\left ( { BMD } \right )⇒\left[ B,SC,D \right]= \widehat { BMD }=120° $. Xét $ ΔBMD $ có $ MO $ là đường trung tuyến và $ MO⊥BD{ \rm{ } }\left ( { BD⊥\left ( { SAC } \right ) } \right ) $ $ ⇒ΔBMD $ cân. Xét $ ΔBMO $ vuông tại $ O $ ta có: $ MO=OB.\cot \widehat { BMO }=\frac { 3\sqrt[] { 2 } } { 2 }.\cot60°=\frac { 3\sqrt[] { 2 } } { 2 }.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 }=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 } $. Xét $ Δ $ vuông $ SAC $ và $ Δ $ vuông $ OMC $ có chung góc $ \widehat { C } ⇒ΔSAC\sim ΔOMC⇒\frac { SA } { OM }=\frac { AC } { MC }⇒SA=\frac { AC.OM } { MC } $. Có: $ \left \{ \begin{array}{l} AC=3\sqrt[] { 2 } \\ OM=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 } \\ MC=\sqrt[] { OC ^ { 2 } -OM ^ { 2 } }=\sqrt[] { \left ( { \frac { 3\sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { \frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 3 } \end{array} \right. $ $ ⇒SA=\frac { 3\sqrt[] { 2 }.\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 } } { \sqrt[] { 3 } }=3 $. $ S_{ ABCD } =3 ^ { 2 } =9⇒V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }S_{ ABCD } .SA=\frac { 1 } { 3 }9.3=9 $.