Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác vuông cân tại $ B $, $ AB=a $. Cạnh bên $ SA $ vuông góc với mặt phẳng đáy, $ SA=a\sqrt[] { 3 } $, kẻ $ AH⊥SB $ và $ AK⊥SC $

a) $ \left ( { SBC } \right )∩\left ( { ABC } \right )=BC $ Ta có: $ BC⊥AB $ và $ BC⊥SA $ suy ra $ BC⊥\left ( { SAB } \right ) $ Suy ra $ BC⊥SB $ Do đó góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $ và $ \left ( { ABC } \right ) $ là góc giữa hai đường thẳng $ SB $ và $ AB $ bằng góc $ \widehat { SBA } $ Xét tam giác vuông $ SBA $, $ \tan \widehat { SBA }=\frac { SA } { AB }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { a }=\sqrt[] { 3 } $. Suy ra $ \widehat { SBA }=60 ^ { { \rm{ o } } } $ Vậy góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $ và $ \left ( { ABC } \right ) $ bằng $ 60 ^ { { \rm{ o } } } $. Suy ra mệnh đề đúng. b) Ta có: $ SA $ là chiều cao của hình chóp $ S.ABC $ $ V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }SA.S_{ ABC } =\frac { 1 } { 3 }SA.\frac { 1 } { 2 }AB.BC=\frac { 1 } { 3 }a\sqrt[] { 3 }.\frac { 1 } { 2 }a.a=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 6 }a ^ { 3 } $ Suy ra mệnh đề sai. c) Theo câu a) Ta có: $ BC⊥\left ( { SAB } \right ) $, $ BC⊂\left ( { SBC } \right ) $ Vậy $ \left ( { SBC } \right )⊥\left ( { SAB } \right ) $ Suy ra mệnh đề đúng. d) Theo câu a) Ta có: $ BC⊥\left ( { SAB } \right ) $, $ AH⊂\left ( { SAB } \right ) $ nên $ BC⊥AH $ Mặt khác $ AH⊥SB $ Suy ra $ AH⊥\left ( { SBC } \right ) $, $ SC⊂\left ( { SBC } \right ) $ nên $ AH⊥SC $ Mặt khác $ AK⊥SC $ Suy ra $ SC⊥\left ( { AHK } \right ) $ mà $ SC $ và $ SB $ cắt nhau tại S Suy ra mệnh đề sai.