(THPT Cẩm Xuyên - Hà Tĩnh 2025) Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy bằng $ a $, cạnh bên bằng $ a\sqrt[] { 2 } $. Gọi $ G $ là trọng tâm tam giác $ SBC $. Tính$ { \rm{ co } }\sin $ góc giữa đường thẳng $ DG $ với đường thẳng $ SA $ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Chọn $ a=1 $ và chọn hệ trục toạ độ $ Oxyz $ sao cho điểm $ O $ là gốc toạ độ, các điểm $ B,C,S $ lần lượt thuộc các tia $ Ox,Oy,Oz $ (như hình vẽ). Khi đó ta có: $ OA=OB=OC=OD=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } $; $ SO ^ { 2 } =SA ^ { 2 } -OA ^ { 2 } =2-\frac { 2 } { 4 }⇒SO=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 }. $ Nên: $ S\left ( { 0;0;\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 } } \right );A\left ( { 0;-\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 };0 } \right );D\left ( { -\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 };0;0 } \right );B\left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 };0;0 } \right );C\left ( { 0;\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 };0 } \right ) $ Suy ra: $ G\left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 6 };\frac { \sqrt[] { 2 } } { 6 };\frac { \sqrt[] { 6 } } { 6 } } \right ) $ Từ đó ta có: $ \overset\rightarrow { DG }\left ( { \frac { 4\sqrt[] { 2 } } { 6 };\frac { \sqrt[] { 2 } } { 6 };\frac { \sqrt[] { 6 } } { 6 } } \right );\,\,\overset\rightarrow { SA }\left ( { 0;-\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 };-\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 } } \right ) $ $ ⇒\overset\rightarrow { u }\left ( { 4;1;\sqrt[] { 3 } } \right );\overset\rightarrow { v }\left ( { 0;1;\sqrt[] { 3 } } \right ) $lần lượt cùng phương với $ \overset\rightarrow { DG };\overset\rightarrow { SA. } $ Gọi $ \alpha $là góc tạo bởi hai đường thẳng $ DG $ và $ SA $. Khi đó: $ cos\alpha =\left | { cos\left ( { \overset\rightarrow { u, }\overset\rightarrow { v } } \right ) } \right |=\frac { \left | { 4.0+1.1+\sqrt[] { 3 }.\sqrt[] { 3 } } \right | } { \sqrt[] { 20 }.\sqrt[] { 4 } }=\frac { \sqrt[] { 5 } } { 5 }≈0,48 $.