Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy bằng $ 2 $, cạnh bên bằng $ 3 $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AB $và $ SD $. (Kết quả làm tròn hai chữ số thập phân).

Gọi $ O $ là tâm hình vuông $ ABCD ⇒SO⊥\left ( { ABCD } \right ) $ Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh$ AB,CD $; $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ O $ trên $ SN. $ Vì $ AB{ \rm{ // } }CD⇒AB{ \rm{ // } }\left ( { SCD } \right ) $ $ ⇒d\left ( { AB,SD } \right )=d\left ( { AB,(SCD) } \right )=d\left ( { A,(SCD) } \right )=2d\left ( { O,(SCD) } \right ) $ Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} CD⊥SO \\ CD⊥ON \end{array} \right.⇒CD⊥(SON)⇒CD⊥OH $ Khi đó $ \left \{ \begin{array}{l} CD⊥OH \\ OH⊥SN \end{array} \right.⇒OH⊥(SCD)⇒d\left ( { O;(SCD) } \right )=OH. $ Có $ ON=\frac { 1 } { 2 }AD=1,OC=\frac { 1 } { 2 }AC=\sqrt[] { 2 } $. $ SO=\sqrt[] { SC ^ { 2 } -OC ^ { 2 } }=\sqrt[] { 9-2 }=\sqrt[] { 7 } $ Tam giác $ SON $ vuông tại $ O $ nên $ \frac { 1 } { OH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { ON ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OS ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 1 }+\frac { 1 } { 7 }=\frac { 8 } { 7 }⇒OH=\sqrt[] { \frac { 7 } { 8 } } $ Vậy $ d\left ( { AB,SD } \right )=2OH=2\sqrt[] { \frac { 7 } { 8 } }≈1,87 $.