(THPT Mai Trúc Loan - Hà Tĩnh 2025) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA$ vuông góc với đáy và $SA=3$. Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$ bằng $\frac{12}{5}$. Tính thể tích của khối chóp đã cho bằng bao nhiêu?

Lời giải Ta có $AB \parallel CD \Rightarrow AB \parallel (SCD)$. Do đó $d(AB, SD) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD))$. Dựng $AK \perp SD$ tại $K$. Ta có: $$ \left\{ \begin{array}{l} CD \perp AD \\ CD \perp SA \end{array} \right. \Rightarrow CD \perp (SAD) \Rightarrow CD \perp AK $$ Vì $AK \perp CD$ và $AK \perp SD$ nên $AK \perp (SCD)$, suy ra $d(A, (SCD)) = AK = \frac{12}{5}$. Xét $\triangle SAD$ vuông tại $A$ với đường cao $AK$: $$ \frac{1}{AK^{2}} = \frac{1}{SA^{2}} + \frac{1}{AD^{2}} \Rightarrow \frac{1}{(\frac{12}{5})^{2}} = \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{AD^{2}} $$ $$ \frac{25}{144} = \frac{1}{9} + \frac{1}{AD^{2}} \Rightarrow \frac{1}{AD^{2}} = \frac{25}{144} - \frac{16}{144} = \frac{9}{144} = \frac{1}{16} \Rightarrow AD = 4 $$ Thể tích khối chóp: $$ V = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot S_{ABCD} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 4^{2} = 16 $$