Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $2\sqrt{3}$, cạnh bên $AA'=3$. Gọi $M, N$ theo thứ tự là trung điểm của $BC, B'C'$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $CN$.

Lời giải Ta có: $$ \left\{ \begin{array}{l} AM \parallel A'N \\ A'N \subset (A'NC) \end{array} \right. \Rightarrow AM \parallel (A'NC) $$ $$ \Rightarrow d(AM; CN) = d(AM; (A'NC)) = d(A; (A'NC)) = d(C'; (A'NC)) $$ Trong mặt phẳng $(A'B'C')$, kẻ $C'D \perp A'N$ ($D \in A'N$). Ta có: $$ \left\{ \begin{array}{l} A'N \perp C'D \\ A'N \perp CC' \end{array} \right. \Rightarrow A'N \perp (CC'D) $$ Trong mặt phẳng $(CC'D)$, kẻ $C'E \perp CD$ ($E \in CD$) $\Rightarrow A'N \perp C'E$. $$ \left\{ \begin{array}{l} C'E \perp CD \\ C'E \perp A'N \end{array} \right. \Rightarrow C'E \perp (A'NC) \Rightarrow d(C'; (A'NC)) = C'E $$ Mặt khác, $S_{\triangle A'B'C'} = \frac{(2\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$ và $A'N = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 3$. Vì $N$ là trung điểm $B'C'$, $S_{\triangle A'NC'} = \frac{1}{2} S_{\triangle A'B'C'} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. Mà $S_{\triangle A'NC'} = \frac{1}{2} C'D \cdot A'N \Rightarrow C'D = \frac{2 S_{\triangle A'NC'}}{A'N} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$. Vì $CC' \perp (A'B'C')$ nên $CC' \perp C'D$, suy ra tam giác $CC'D$ vuông tại $C'$, do đó $$ CD = \sqrt{CC'^2 + C'D^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}. $$ $$ C'E = \frac{CC' \cdot C'D}{CD} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{2} = 1,5. $$ Vậy $d(AM; CN) = C'E = 1,5$.