Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $3$ và cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc nhị diện $[B,SC,D]$ bằng $120^{\circ}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng bao nhiêu?

Lời giải Trong mặt phẳng $(SAC)$ kẻ $OI \perp SC$ tại $I$ và $AH \perp SC$ tại $H$. Ta có: $$ \left\{ \begin{array}{l} BD \perp SA \\ BD \perp AC \end{array} \right. \Rightarrow BD \perp (SAC) \Rightarrow BD \perp SC $$ Suy ra $SC \perp (BID)$, do đó góc phẳng nhị diện $[B,SC,D]$ là $\widehat{BID} = 120^{\circ}$. Vì $\triangle BID$ cân tại $I$ và $SC \perp (BID)$ nên $IO$ là đường cao, suy ra $\widehat{BIO} = 60^{\circ}$. Xét $\triangle BIO$ vuông tại $O$: $$ \tan 60^{\circ} = \frac{BO}{OI} \Rightarrow OI = \frac{BO}{\tan 60^{\circ}} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{2} $$ Xét $\triangle SAC$ vuông tại $A$ với đường cao $AH$ (tương ứng với $OI$ khi xét đồng dạng tỉ lệ): $$ \frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{SA^{2}} + \frac{1}{AC^{2}} $$ Với $AH = 2OI = \sqrt{6}$, $AC = 3\sqrt{2}$: $$ \frac{1}{6} = \frac{1}{SA^{2}} + \frac{1}{18} \Rightarrow \frac{1}{SA^{2}} = \frac{1}{9} \Rightarrow SA = 3 $$ Thể tích khối chóp: $$ V = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot S_{ABCD} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 9 = 9 $$