(THPT Lý Thường Kiệt - Hà Nội 2025) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Biết cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a\sqrt{3}$. Vẽ đường cao $AH$ của tam giác $SAB$. Vẽ đường cao $AK$ của tam giác $SAD$. Khi đó:

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Lời giải a) Ta có: $$ \left\{ \begin{array}{l} BC \perp AB \\ BC \perp SA \end{array} \right. \Rightarrow BC \perp (SAB) $$ Mặt khác $AH \subset (SAB) \Rightarrow BC \perp AH$. Mệnh đề a đúng. b) Ta có $SA \perp (ABCD)$ nên $SC$ có hình chiếu trên mặt phẳng $(ABCD)$ là đường thẳng $AC$. Suy ra $AC = a\sqrt{2}$, và $\widehat{(SC, (ABCD))} = \widehat{SCA}$. Vậy $\tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC} = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$. Mệnh đề b đúng. c) Ta có: $$ \left\{ \begin{array}{l} AH \perp SB \\ AH \perp BC \end{array} \right. \Rightarrow AH \perp (SBC) \Rightarrow AH \perp SC \quad (1) $$ Tương tự: $$ \left\{ \begin{array}{l} AK \perp SD \\ AK \perp DC \end{array} \right. \Rightarrow AK \perp (SDC) \Rightarrow AK \perp SC \quad (2) $$ Từ (1) và (2) suy ra $SC \perp (AHK)$. Mặt phẳng $(AHK)$ cắt $SC$ tại $F$ nên $AF \perp SC$ và $d(C, (AHK)) = CF = \frac{AC^2}{SC} = \frac{2a^2}{a\sqrt{5}} = \frac{2a\sqrt{5}}{5}$. Mệnh đề c sai. d) $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SA \cdot S_{ABCD} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt{3} \cdot a^2 = \frac{\sqrt{3}}{3}a^3$. Mệnh đề d đúng.