Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông cân tại $ C $ và $ AC=4 $. Biết $ SA $ vuông góc với mặt phẳng đáy và khoảng cách từ $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $ bằng $ \frac { 12 } { 5 } $. Thể tích của khối chóp $ S.ABC $ bằng bao nhiêu?

$ SA⊥\left ( { ABC } \right )⇒SA⊥BC $; $ ΔABC $ là tam giác vuông cân tại $ C⇒BC⊥AC $. Do đó $ BC⊥\left ( { SAC } \right ) $. Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ trên $ SC $. Khi đó $ AH⊥\left ( { SBC } \right ) $ suy ra $ AH=d\left ( { A,\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { 12 } { 5 } $. Ta có $ \frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AC ^ { 2 } }⇒\frac { 1 } { SA ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AH ^ { 2 } }-\frac { 1 } { AC ^ { 2 } }=\left ( { \frac { 5 } { 12 } } \right ) ^ { 2 } -\frac { 1 } { 4 ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 9 }⇒SA=3 $. Vậy $ V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }SA\,.\,S_{ ABC } =\frac { 1 } { 3 }SA.\frac { 1 } { 2 }AC ^ { 2 } =\frac { 1 } { 6 }.3.16=8. $