Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $AB=1$, $AC=2$, $\widehat{BAC}=120^{\circ}$ và $SA \perp (ABC)$. Gọi $M, N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên cạnh $SB, SC$ và $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $SA$ và $(AMN)$ sao cho $\sin \alpha = \frac{\sqrt{21}}{7}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Lời giải Tính $BC = \sqrt{1^{2} + 2^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos 120^{\circ}} = \sqrt{7}$. Gọi $D$ là điểm thỏa mãn $DB \perp AB$ và $DC \perp AC$ (khi đó $A, B, D, C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AD$). Vì $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp BD$; lại có $BD \perp AB$ nên $BD \perp (SAB) \Rightarrow BD \perp AM$. Kết hợp $AM \perp SB$ ta được $AM \perp (SBD) \Rightarrow AM \perp SD$. Tương tự, $CD \perp (SAC) \Rightarrow CD \perp AN$; kết hợp $AN \perp SC$ ta được $AN \perp (SCD) \Rightarrow AN \perp SD$. Do $AM, AN$ cắt nhau trong $(AMN)$ nên $SD \perp (AMN)$. Gọi $F = SD \cap (AMN)$, tức $AF \perp SD$ và $SD \perp (AMN)$ tại $F$. Góc giữa $SA$ và $(AMN)$ là $\widehat{SAF} = \alpha$. Trong $\triangle SAD$ vuông tại $A$ có đường cao $AF$: $$ \sin \alpha = \frac{SF}{SA} = \frac{\sqrt{21}}{7} \Rightarrow SF = \frac{\sqrt{21}}{7} SA $$ Sử dụng hệ thức lượng $SA^{2} = SF \cdot SD$: $$ SA^{2} = \frac{\sqrt{21}}{7} SA \cdot \sqrt{SA^{2} + AD^{2}} $$ Với $AD = \frac{BC}{\sin 120^{\circ}} = \frac{2\sqrt{21}}{3}$. Giải phương trình ta được $SA = \sqrt{7}$. Thể tích khối chóp: $$ V = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot S_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{7} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 \cdot \sin 120^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{21}}{6} \approx 0,76 $$