Một mô hình trang trí có dạng là hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$, cạnh bằng $10\,\text{m}$ (như hình vẽ). Người ta cần nối một đường dây điện đi từ điểm $E$ (là trung điểm của $CD$) đi qua điểm $M$ thuộc cạnh $AD$, đi tiếp qua điểm $N$ thuộc cạnh $AA'$ rồi tới điểm $B'$. Biết độ dài đoạn dây điện bằng $25\,\text{m}$. Tính độ dài đoạn $MN$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải Trải hình lập phương ra trên mặt phẳng ta được hình vẽ. Ta có $A'B' = A'D' = 10$ và $DE = 5$. Ta thấy $B'E = 25 = \sqrt{B'D'^{2} + D'E^{2}}$. Suy ra $B', N, M, E$ thẳng hàng. Xét tam giác $B'D'E$: $$ \tan\widehat{D'B'E} = \frac{15}{20} = \frac{A'N}{10} \Rightarrow A'N = 7,5 \text{ và } AN = 2,5 = \frac{5}{2} $$ $$ \tan\widehat{B'ED'} = \frac{20}{15} = \frac{DM}{5} \Rightarrow DM = \frac{20}{3} \text{ và } AM = 10 - \frac{20}{3} = \frac{10}{3} $$ Vậy $MN$ là: $$ MN = \sqrt{AN^{2} + AM^{2}} = \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^{2} + \left(\frac{10}{3}\right)^{2}} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{100}{9}} = \sqrt{\frac{225 + 400}{36}} = \sqrt{\frac{625}{36}} = \frac{25}{6} \approx 4,17\,\text{m} $$