Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ với $ O $ là tâm của đáy, $ AB=16cm $, góc nhị diện $ \left[ S;CD;O \right]=\alpha $ với $ \tan\alpha =\frac { 5 } { 4 } $. Thể tích khối chóp là $ k\left ( { cm ^ { 3 } } \right ) $, hãy tính $ 3k $.

Do $ S.ABCD $ là chóp đều nên $ SO⊥\left ( { ABCD } \right ) $ và $ ABCD $ là hình vuông Gọi $ M $ là trung điểm của $ CD $. Suy ra $ OM $ là đường trung bình của tam giác $ BCD $ nên $ OM=\frac { 1 } { 2 }BC=8cm $ và $ OM $ // $ BC $ Do $ BC⊥CD $ nên $ OM⊥CD $. $ SO⊥\left ( { ABCD } \right ) $, $ CD⊂\left ( { ABCD } \right ) $ nên $ SO⊥CD $ Suy ra $ CD⊥SM $ Do đó $ \left[ S;CD;O \right]= \widehat { SMO }=\alpha $ Xét tam giác vuông $ SOM $, $ \tan \widehat { SMO }=\frac { SO } { OM }⇔SO=OMtan\alpha =8⋅\frac { 5 } { 4 }=10cm $ $ V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }SO⋅S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 3 }⋅10⋅16 ^ { 2 } =\frac { 2560 } { 3 }\left ( { cm ^ { 3 } } \right ) $ Vậy $ 3k=2560 $