(Sở Nghệ An 2025) Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật với $ AB=2 $, $ AD=4 $ và $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $, $ SA=2\sqrt[] { 3 } $. Tính số đo góc giữa đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ \left ( { SBD } \right ) $ (đơn vị đo góc: độ, làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Dựng hệ tọa độ $ Oxyz $ với $ A≡O\left ( { 0;0;0 } \right ) $, $ B\left ( { 2;0;0 } \right ) $, $ D\left ( { 0;4;0 } \right ) $, $ S\left ( { 0;0;2\sqrt[] { 3 } } \right ) $, $ C\left ( { 2;4;0 } \right ) $. Ta có $ \overset\rightarrow { SB }=\left ( { 2;0;-2\sqrt[] { 3 } } \right ) $, $ \overset\rightarrow { SD }=\left ( { 0;4;-2\sqrt[] { 3 } } \right ) $, suy ra $ \left[ \overset\rightarrow { SB },\overset\rightarrow { SD } \right]=\left ( { 8\sqrt[] { 3 };4\sqrt[] { 3 };8 } \right ) $. Mặt phẳng $ \left ( { SBD } \right ) $ có một vectơ pháp tuyến là $ n=\frac { 1 } { 4 }\left[ \overset\rightarrow { SB },\overset\rightarrow { SD } \right]=\left ( { 2\sqrt[] { 3 };\sqrt[] { 3 };2 } \right ) $. Đường thẳng $ SC $ có một vectơ chỉ phương là $ u=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { SC }=\left ( { 1;2;-\sqrt[] { 3 } } \right ) $. Gọi $ φ $ là góc giữa đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ \left ( { SBD } \right ) $ thì $ \sinφ=\left | { \cos\left ( { n,u } \right ) } \right |=\frac { \left | { n.u } \right | } { \left | { n } \right |.\left | { u } \right | }=\frac { \left | { 2\sqrt[] { 3 }.1+\sqrt[] { 3 }.2-2\sqrt[] { 3 } } \right | } { \sqrt[] { \left ( { 2\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } +2 ^ { 2 } }.\sqrt[] { 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } +\left ( { -\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { \sqrt[] { 114 } } { 38 } $. Suy ra $ φ≈16,3 $ (độ).