Cho khối chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có thể tích bằng $ \frac { 16 } { 3 } $ với $ AB=2 $. Gọi $ G $ là trọng tâm của tam giác $ SCD $, trên các cạnh $ AB $, $ SD $ lần lượt lấy các điểm $ E $, $ F $ sao cho $ EF $ song song với $ BG $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ DG $ và $ EF $ bằng $ \frac { m } { n } $ với $ m,n $ nguyên dương và $ \frac { m } { n } $ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $ 2m-n $.

Hai đường thẳng $ BG $ và $ EF $ song song nên chúng đồng phẳng, $ E\in AB $ vậy $ EF⊂\left ( { ABG } \right ) $. Điểm $ F=SD∩\left ( { ABG } \right ) $. Vì $ \left \{ \begin{array}{l} AB{ \rm{ // } }CD \\ AB⊂\left ( { SAB } \right ) \\ CD⊂\left ( { SCD } \right ) \end{array} \right.⇒\left ( { SAB } \right )∩\left ( { SCD } \right ) $ là đường thẳng qua $ G $ và song song với $ CD $ cắt $ SD $ tại $ F $. Gọi $ K $ là trung điểm của $ SC $, $ KB=KD $ suy ra tam giác $ KBD $ cân tại $ K $. $ SH=\frac { 3V_{ S.ABCD } } { S_{ ABCD } }=\frac { 16 } { 4 }=4 $, $ SC=SD=\sqrt[] { SH ^ { 2 } +HC ^ { 2 } }=\sqrt[] { 4 ^ { 2 } +\sqrt[] { 2 } ^ { 2 } }=3\sqrt[] { 2 } $. $ HK=\sqrt[] { \frac { HS ^ { 2 } +HC ^ { 2 } } { 2 }-\frac { SC ^ { 2 } } { 4 } } =\sqrt[] { \frac { 4 ^ { 2 } +\sqrt[] { 2 } ^ { 2 } } { 2 }-\frac { \left ( { 3\sqrt[] { 2 } } \right ) ^ { 2 } } { 4 } }=\frac { 3\sqrt[] { 2 } } { 2 } $. $ S_{ ΔKBD } =\frac { 1 } { 2 }BD.HK=\frac { 1 } { 2 }2\sqrt[] { 2 }.\frac { 3\sqrt[] { 2 } } { 2 }=3 $; $ S_{ ΔBGD } =\frac { 2 } { 3 }S_{ ΔKBD } =2 $. Gọi $ I $ là trung điểm của $ CD $ (khi đó $ G\in SI $ và $ SG=\frac { 2 } { 3 }SI $). Mặt khác ta lại có: $ V_{ S.BDI } =\frac { 1 } { 4 }V_{ S.ABCD } =\frac { 4 } { 3 } $, $ \frac { V_{ S.BGD } } { V_{ S.BID } }=\frac { SG } { SI }=\frac { 2 } { 3 }⇒V_{ S.BGD } =\frac { 2 } { 3 }V_{ S.BID } =\frac { 8 } { 9 } $. $ d\left ( { EF,DG } \right )=d\left ( { EF,\left ( { BDG } \right ) } \right )=d\left ( { F,\left ( { BDG } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 3 }d\left ( { S,\left ( { BDG } \right ) } \right ) =\frac { 1 } { 3 }.\frac { 3V_{ S.BDG } } { S_{ ΔBDG } }=\frac { 4 } { 9 } $. Vậy $ 2m-n=-1 $.