Đúng/Sai · Câu 25
Cho tứ diện đều $S.ABC$ có cạnh là $a$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Đúng
- c. Sai
- d. Sai
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Sai
Lời giải
a) Ta có $\Delta ABC$ đều, $G$ là trọng tâm suy ra $GA=GB=GC$. $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều nên $SA=SB=SC$. Suy ra $SG \perp (ABC)$. Mệnh đề a đúng.
b) Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $AG = \frac{2}{3}AM = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Xét tam giác $SGA$ có:
$$
SG = \sqrt{SA^2 - AG^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \frac{a\sqrt{6}}{3}
$$
Mệnh đề b đúng.
c) $V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SG = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^3\sqrt{18}}{36} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$. Mệnh đề c sai.
d) $S_{\Delta CGM} = \frac{1}{2} \cdot GM \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{24}$.
Vậy $V_{G.SCM} = \frac{1}{3} \cdot S_{CGM} \cdot SG = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{24} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^3\sqrt{18}}{216} = \frac{a^3\sqrt{2}}{72}$. Mệnh đề d sai.