Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Biết khoảng cách từ đỉnh $A$ tới $(A'BD)$ bằng $10$. Tính thể tích nhỏ nhất của khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải Đặt $AB=x, AD=y, AA'=z$. Khoảng cách từ $A$ đến $(A'BD)$ bằng 10, ta có hệ thức lượng: $$ \frac{1}{10^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}} $$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: $$ \frac{1}{100} \ge 3 \sqrt[3]{\frac{1}{x^{2}y^{2}z^{2}}} \Rightarrow \frac{1}{100} \ge \frac{3}{(xyz)^{2/3}} \Rightarrow (xyz)^{2/3} \ge 300 $$ $$ V = xyz \ge 300^{3/2} = \sqrt{300^{3}} = 300\sqrt{300} = 3000\sqrt{3} \approx 5196 $$