Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, $AB=a$. Cạnh bên $AA'=2a$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $AC$. $M'$ và $N'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ và $N$ trên các cạnh $A'B'$, $A'C'$.

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. $V_{ABC.A'B'C'} = a^3$. Đúng. b. $V_{AMN.A'M'N'} = \frac{a^3}{4}$. Đúng. c. $V_{BCNM.B'C'N'M'} = \frac{1}{2}V_{ABC.A'B'C'}$. Sai. d. Gọi $P$ là điểm thỏa mãn $\vec{PB} = k\vec{PC}$ ($k < 0$) và $P'$ là hình chiếu vuông góc của $P$ trên $B'C'$. Khi đó thể tích khối lăng trụ $MNP.M'N'P'$ không phụ thuộc vào vị trí điểm $P$. Đúng. Lời giải: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Lời giải a) $V_{ABC.A'B'C'} = AA' \cdot S_{ABC} = 2a \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = a^3$. Mệnh đề a đúng. b) $V_{AMN.A'M'N'} = AA' \cdot S_{AMN} = 2a \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{4}$. Mệnh đề b đúng. c) Ta có $V_{BCNM.B'C'N'M'} = V_{ABC.A'B'C'} - V_{AMN.A'M'N'} = a^3 - \frac{a^3}{4} = \frac{3a^3}{4}$. Mệnh đề c sai. d) $MNP.M'N'P'$ là lăng trụ đứng có đáy là tam giác $MNP$ và chiều cao $MM'=AA'=2a$. Vì $MN$ là đường trung bình trong tam giác $ABC \Rightarrow d(P, MN) = d(A, MN)$. Suy ra $S_{MNP} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot d(P, MN) = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot d(A, MN) = S_{AMN} = \frac{1}{2}AM \cdot AN = \frac{a^2}{8}$. $V_{MNP.M'N'P'} = MM' \cdot S_{MNP} = 2a \cdot \frac{a^2}{8} = \frac{a^3}{4}$. Mệnh đề d đúng.

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, $AB=a$. Cạnh bên $AA'=2a$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $AC$. $M'$ và $N'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ và $N$ trên các cạnh $A'B'$, $A'C'$.

Cùng dạng: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng