Đúng/Sai · Câu 23
Cho hình lập phương $ ABCD.A'B'C'D' $ cạnh bằng $ 2a $. Gọi $ M $ và $ N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ AB $ và $ AD $. $ M' $ và $ N' $ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ M $ và $ N $ trên các cạnh $ A'B' $, $ A'D' $.
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Sai
- b. Đúng
- c. Đúng
- d. Đúng
Lời giải
a) Sai.
$ V_{ ABCD.A'B'C'D' } =\left ( { 2a } \right ) ^ { 3 } =8a ^ { 3 } $.
b) Đúng.
$ S_{ AMN } =\frac { 1 } { 2 }AM.AN=\frac { a ^ { 2 } } { 2 } ⇒V_{ AMN.A'M'N' } =AA'.S_{ AMN } =a ^ { 3 } $.
Suy ra: $ V_{ AMN.A'M'N' } =\frac { 1 } { 8 }V_{ ABCD.A'B'C'D' } $.
c) Đúng.
Ta có: $ V_{ BCDNM.B'C'D'N'M' } =V_{ ABCD.A'B'C'D' } -V_{ AMN.A'M'N' } =8a ^ { 3 } -a ^ { 3 } =7a ^ { 3 } $.
d) Đúng.
$ V_{ BCDNM.B'C'D'N'M' } =BB'.S_{ B'C'D'N'M' } ⇒S_{ B'C'D'N'M' } =\frac { V_{ BCDNM.B'C'D'N'M' } } { BB' }=\frac { 7a ^ { 3 } } { 2a }=\frac { 7a ^ { 2 } } { 2 } $.
Mặt khác, $ EFGHI.B'C'D'N'M' $ là lăng trụ đứng có đáy là ngũ giác $ B'C'D'N'M' $ và chiều cao $ IM' $.
Vì $ V_{ EFGHI.B'C'D'N'M' } =a ^ { 3 } ⇒IM'.S_{ B'C'D'N'M' } =a ^ { 3 } ⇔IM'=\frac { a ^ { 3 } } { S_{ B'C'D'N'M' } }=\frac { a ^ { 3 } } { \frac { 7a ^ { 2 } } { 2 } }=\frac { 2a } { 7 } $.
Khi đó $ IM=MM'-IM' =2a-\frac { 2a } { 7 }=\frac { 12a } { 7 } $.
Vậy $ IM=6IM' $.