Một mái nhà được tạo bởi hai nửa lục giác đều $ABCD, ABC'D'$ và hai tam giác bằng nhau $ADD', BCC'$. Biết $CDD'C'$ là hình chữ nhật và $AB // CD // C'D'$, $CD = C'D' = 2AB = 6$ m, $DD' = 4$ m. Tính số đo góc nhị diện $[D', AD, C]$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Lời giải Vì $ABCD$ là nửa lục giác đều nên ta suy ra được $AC \perp AD$ tại $A$. Trong mặt phẳng $(D', AD)$ ta dựng đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AD$ và cắt $DD'$ tại điểm $E$. Như vậy: $$ (D', AD) \cap (C, AD) = AD $$ $$ AE \subset (D', AD), AE \perp AD \text{ tại } A $$ $$ AC \subset (C, AD), AC \perp AD \text{ tại } A $$ $$ \Rightarrow [D', AD, C] = \widehat{EAC} = \varphi $$ Ta có $AC = 3\sqrt{3}$. Xét tam giác $AD'D$, có: $$ \cos(\widehat{ADE}) = \frac{AD^{2} + DD'^{2} - AD'^{2}}{2AD \cdot DD'} = \frac{DD'}{2DA} = \frac{2}{3} $$ Mặt khác $\cos(\widehat{ADE}) = \frac{AD}{DE}$, suy ra: $$ \frac{AD}{DE} = \frac{2}{3} \Rightarrow DE = \frac{3}{2}AD = \frac{9}{2} $$ Xét tam giác vuông $ADE$, có: $$ AE = \sqrt{DE^{2} - AD^{2}} = \sqrt{\frac{81}{4} - 9} = \frac{3\sqrt{5}}{2} $$ Xét tam giác vuông $EDC$, có: $$ EC = \sqrt{DE^{2} + DC^{2}} = \sqrt{\frac{81}{4} + 36} = \frac{15}{2} $$ Xét tam giác $AEC$, theo định lý hàm số cosin: $$ \cos\varphi = \frac{AE^{2} + AC^{2} - EC^{2}}{2 \cdot AE \cdot AC} = \frac{\frac{45}{4} + 27 - \frac{225}{4}}{2 \cdot \frac{3\sqrt{5}}{2} \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{-18}{9\sqrt{15}} = -\frac{2\sqrt{15}}{15} \approx -0,516 $$ Vì $\cos\varphi < 0$ nên $\varphi$ là góc tù: $$ \varphi \approx 121° $$ Vậy số đo góc nhị diện $[D', AD, C]$ xấp xỉ $121°$.