Trong không gian, cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình bình hành tâm $ O, $ $ M $ là điểm thay đổi trên $ SO $. Khi biểu thức $ P=MS ^ { 2 } +MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } +MC ^ { 2 } +MD ^ { 2 } $ đạt giá trị nhỏ nhất thì tỉ số $ \frac { SM } { SO } $ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Xét $ ΔMAC,\,\,ΔMBD $ với đường trung tuyến là $ MO $. Theo công thức đường trung tuyến, ta có $ MO ^ { 2 } =\frac { MA ^ { 2 } +MC ^ { 2 } } { 2 }-\frac { AC ^ { 2 } } { 4 };\,\,MO ^ { 2 } =\frac { MB ^ { 2 } +MD ^ { 2 } } { 2 }-\frac { BD ^ { 2 } } { 4 } $ Suy ra $ MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } +MC ^ { 2 } +MD ^ { 2 } =4MO ^ { 2 } +\frac { AC ^ { 2 } +BD ^ { 2 } } { 2 } $ $ ⇒P=MS ^ { 2 } +4MO ^ { 2 } +\frac { AC ^ { 2 } +BD ^ { 2 } } { 2 }=\left ( { SO-MO } \right ) ^ { 2 } +4MO ^ { 2 } +\frac { AC ^ { 2 } +BD ^ { 2 } } { 2 } =5MO ^ { 2 } -2SO.MO+SO ^ { 2 } +\frac { AC ^ { 2 } +BD ^ { 2 } } { 2 } $ Do $ SO,AC,\,BD $ không đổi nên ta có thể xem $ P $ là hàm số bậc 2 của $ MO $. Áp dụng tính chất của hàm số bậc 2, ta có $ P $ đạt giá trị nhỏ nhất tại $ MO=\frac { SO } { 5 } $ $ ⇒SO=5MO⇔SM=4MO⇒\frac { SM } { SO }=\frac { 4 } { 5 }=0,8. $