Cho hình chóp $ S.ABC $ có $ ABC $ là tam giác đều cạnh $ 1 $ và cạnh bên $ SA $ vuông góc với đáy, với $ SA=\frac { 1 } { 2 } $. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:

a) Đúng. Diện tích đáy của hình chóp $ S.ABC $ là $ S_{ ΔABC } =\frac { AB ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 } $. b) Sai. Thể tích của khối chóp $ S.ABC $ là $ V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }SA.S_{ ABC } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 2 }.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 } =\frac { \sqrt[] { 3 } } { 24 } $. c) Sai. Gọi $ M $ là trung điểm của cạnh $ BC $. Ta có : $ BC⊥AM $ ($ AM $ là đường trung tuyến của $ ΔABC $ đều) $ BC⊥SA\left ( { SA⊥\left ( { ABC } \right ) } \right ) $ Do đó: $ BC⊥\left ( { SAM } \right ) ⇒BC⊥SM $ Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { SBC } \right )∩\left ( { ABC } \right )=BC \\ SM⊥BC,SM⊂\left ( { SBC } \right ) \\ AM⊥BC,AM⊂\left ( { ABC } \right ) \end{array} \right. $ Do đó: góc tạo bởi mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $ và mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ là góc $ \widehat { SMA } $. Xét tam giác đều $ ABC $: $ AM=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } $ Xét tam giác vuông $ SMA $ có: $ \tan \widehat { SMA }=\frac { SA } { AM }=\frac { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 } $ Suy ra: $ \widehat { SMA }=30° $ Vậy góc tạo bởi mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $ và mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ bằng $ 30° $. d) Sai. Ta có: $ \frac { V_{ S.APQ } } { V_{ S.ABC } }=\frac { \frac { 1 } { 3 }.d\left ( { A,\left ( { SPQ } \right ) } \right ).S_{ ΔSPQ } } { \frac { 1 } { 3 }.d\left ( { A,\left ( { SBC } \right ) } \right ).S_{ ΔSBC } } =\frac { SP.SQ.\sin \widehat { PSQ } } { SB.SC.\sin \widehat { BSC } }=\frac { SP } { SB }.\frac { SQ } { SC }=\frac { 1 } { 4 } $ Suy ra $ V_{ S.APQ } =\frac { 1 } { 4 }V_{ S.ABC } $. Do đó: $ V_{ A.BCQP } =V_{ S.ABC } -V_{ S.APQ } =\frac { 3 } { 4 }V_{ S.ABC } =\frac { \sqrt[] { 3 } } { 32 } $.