Cho hình hộp chữ nhật $ ABCD.A'B'C'D' $. Biết khoảng cách từ đỉnh $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { A'BD } \right ) $ bằng $ 10 $. Tính thể tích nhỏ nhất của khối hộp $ ABCD.A'B'C'D' $ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Giả sử $ AB=a,\ A{ \rm{ D } }=b,\ AA'=c $ thì thể tích khối hộp $ ABCD.A'B'C'D' $ là $ V=abc $. Gọi khoảng cách từ đỉnh $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { A'BD } \right ) $ là $ h $. Xét hình chóp $ A.A'BD $ có $ AA',AB,AD $ đôi một vuông góc nên ta có $ \frac { 1 } { h ^ { 2 } }=\frac { 1 } { a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { b ^ { 2 } }+\frac { 1 } { c ^ { 2 } }⇒\frac { 1 } { 100 }=\frac { 1 } { a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { b ^ { 2 } }+\frac { 1 } { c ^ { 2 } } $ Theo bất đẳng thức Cauchy ta có $ \frac { 1 } { a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { b ^ { 2 } }+\frac { 1 } { c ^ { 2 } }\geq 3\sqrt[3] { \frac { 1 } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } c ^ { 2 } } }⇒\frac { 1 } { 100 }\geq 3\sqrt[3] { \frac { 1 } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } c ^ { 2 } } }⇒a ^ { 2 } b ^ { 2 } c ^ { 2 } \geq 27.100 ^ { 3 } ⇒V ^ { 2 } \geq 27.10 ^ { 6 } ⇒V\geq 3000\sqrt[] { 3 } $Thể tích nhỏ nhất của khối hộp $ ABCD.A'B'C'D' $ là $ 5196 $ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị), dấu bằng xảy ra khi $ a=b=c=\sqrt[] { 300 } $.