(Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An 2025) Cho hình chóp $ SABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông và $ SA $vuông góc với đáy, $ SA=2a $,$ AB=a $

a) Đúng Diện tích đáy là $ S_{ ABCD } =a ^ { 2 } $, thể tích khối chóp là $ V_{ SABCD } =\frac { 1 } { 3 }SA.S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.2a.a ^ { 2 } =\frac { 2a ^ { 3 } } { 3 } $. b) Sai Ta có $ AB⊥SA,AB⊥BC⇒d\left ( { SA,BC } \right )=AB=a $. c) Đúng Gọi $ O $ là giao điểm của $ AC $ và $ BD $ thì $ O $ cũng là trung điểm của $ AC $ và $ BD $. Khi đó $ \overset\rightarrow { SA }+\overset\rightarrow { SC }=\overset\rightarrow { SB }+\overset\rightarrow { S{ \rm{ D } } }=2\overset\rightarrow { SO } $. d) Sai Ta có $ SB=\sqrt[] { SA ^ { 2 } +AB ^ { 2 } }=\sqrt[] { 4a ^ { 2 } +a ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 5 } $. Xét tam giác $ SBC $vuông tại $ B $nên $ SC=\sqrt[] { SB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } }=\sqrt[] { 5a ^ { 2 } +a ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 6 } $ Trong mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $kẻ $ BM⊥SC $, ta có $ \left \{ \begin{array}{l} BM⊥SC \\ BD⊥SC \end{array} \right.⇒SC⊥\left ( { BDM } \right )⇒SC⊥MD $, do vậy góc nhị diện $ \left[ B,SC,D \right] $là góc $ \widehat { BMD } $. Xét tam giác $ BDM $ có $ MB=MD=\frac { BC.BS } { SC }=\frac { a\sqrt[] { 5 } } { \sqrt[] { 6 } } $, $ BD=a\sqrt[] { 2 } $ nên $ \cos \widehat { BMD }=\frac { BM ^ { 2 } +DM ^ { 2 } -BD ^ { 2 } } { 2.BM.DM }=-\frac { 1 } { 5 } $ Do vậy góc $ \widehat { BMD }=101,5° $.