Cho bất phương trình $12x^2 + 2(m+3)x + m \le 0$ với $m$ là tham số thực. Đặt biểu thức $f(x) = 12x^2 + 2(m+3)x + m$.

a) Đúng. Ta có: $\Delta' = (m + 3)^2 - 12m = m^2 - 6m + 9 = (m - 3)^2 \ge 0$ với mọi $m$. b) Đúng. Thay $m = 2$ vào biểu thức $f(x)$, ta được $f(x) = 12x^2 + 10x + 2$. Phương trình $f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -\frac{1}{2}\\x = -\frac{1}{3}\end{array}\right]$. Vì hệ số $a = 12 > 0$ nên $f(x) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[-\frac{1}{2}; -\frac{1}{3}\right]$, tức là $a = -\frac{1}{2}$ và $b = -\frac{1}{3}$. Khi đó, $a + b = -\frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{5}{6}$. c) Đúng. Phương trình $f(x) = 0$ luôn có hai nghiệm là $x_1 = -\frac{1}{2}$ và $x_2 = -\frac{m}{6}$. Với $m > 3$, ta có $-\frac{m}{6} < -\frac{1}{2}$. Do hệ số $a = 12 > 0$ nên tập nghiệm của bất phương trình $f(x) \le 0$ là $S = \left[-\frac{m}{6}; -\frac{1}{2}\right]$. Với $m = 3$, bất phương trình trở thành $12x^2 + 12x + 3 \le 0 \Leftrightarrow 3(2x + 1)^2 \le 0 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{2}$, khi đó tập nghiệm $S = \left\{-\frac{1}{2}\right\}$ vẫn phù hợp với công thức tổng quát $S = \left[-\frac{m}{6}; -\frac{1}{2}\right]$ khi thay $m = 3$. d) Sai. Xét $g(x) = (m-2)x^2 + 2(m-2)x + m - 3$. - Nếu $m = 2$: $g(x) = -1 < 0$ với mọi $x$, tức luôn âm với mọi $m$. (1) - Nếu $m \neq 2$: $a = m-2$, $b' = m-2$, $c = m-3$, suy ra $\Delta' = (b')^2 - ac = (m-2)^2 - (m-2)(m-3) = m-2$. Để $g(x)$ luôn âm với mọi $x$ thì $\left\{\begin{array}{l}a = m-2 < 0\\ \Delta' = m-2 < 0\end{array}\right. \Leftrightarrow m < 2$. (2) Từ (1) và (2) suy ra $m \le 2$, nên các giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn là $m \in \{1; 2\}$.