Cho cấp số cộng $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ có số hạng đầu bằng $ 1 $ và tổng $ 100 $ số hạng đầu bằng $ 14950 $. Biết tổng $ \frac { 1 } { u_{ 1 } u_{ 2 } }+\frac { 1 } { u_{ 2 } u_{ 3 } }+...+\frac { 1 } { u_{ 49 } u_{ 50 } }=\frac { a } { b },\,a;\,b\in \mathbb{N},\,\frac { a } { b } $ là phân số tối giản. Tính $ b-2a. $

Gọi $ d $ là công sai của cấp số cộng. Ta có $ S_{ 100 } =50\left ( { 2u_{ 1 } +99d } \right )=14950 $ với $ u_{ 1 } =1⇒d=3 $ Đặt $ S=\frac { 1 } { u_{ 1 } u_{ 2 } }+\frac { 1 } { u_{ 2 } u_{ 3 } }+...+\frac { 1 } { u_{ 49 } u_{ 50 } } $. Ta có $ S.d=\frac { d } { u_{ 1 } u_{ 2 } }+\frac { d } { u_{ 2 } u_{ 3 } }+...+\frac { d } { u_{ 49 } u_{ 50 } } =\frac { u_{ 2 } -u_{ 1 } } { u_{ 1 } u_{ 2 } }+\frac { u_{ 3 } -u_{ 2 } } { u_{ 2 } u_{ 3 } }+...+\frac { u_{ 50 } -u_{ 49 } } { u_{ 49 } u_{ 50 } } =\frac { 1 } { u_{ 1 } }-\frac { 1 } { u_{ 50 } } $ $ =1-\frac { 1 } { 1+49.3 }=\frac { 147 } { 148 } $. Với $ d=3 $ nên $ S=\frac { 49 } { 148 }\xrightarrow a=49;\,b=148. $ Vậy $ b-2a=50. $