Cho tam giác $ ΔABC $ nhọn với trọng tâm $ G $ và trực tâm $ H $. Gọi $ I $ là trung điểm của $ AH $, $ J $ là trung điểm của $ BC $, và $ K $ là điểm đối xứng của $ G $ qua $ J $.

a) Sai. Vì $ I $ là trung điểm của $ AH $ với $ H $ là trực tâm của tam giác $ ΔABC $ do đó $ I $ không thể nằm trên bất kì đường trung bình nào của tam giác $ ΔABC $ b) Sai. Vì $ I $ là trung điểm của $ AH $. Có $ G $ là trọng tâm của tam giác $ ΔABC $. Suy ra: $ AG=2GJ=GK $ hay $ G $ là trung điểm $ AK $. Suy ra $ IG $ là đường trung bình của tam giác $ ΔAHK $ Suy ra $ IG\,{ \rm{ // } }\,HK $, Vậy hai vecto $ \overset\rightarrow { IG } $ và $ \overset\rightarrow { HK } $ cùng phương. Ta lại có $ \overset\rightarrow { AB } $ không cùng phương với $ \overset\rightarrow { IG } $, vậy $ \overset\rightarrow { AB } $ không thể biểu diễn được qua hai vecto $ \overset\rightarrow { IG } $ và $ \overset\rightarrow { HK } $. c) Đúng. Ta có $ \overset\rightarrow { GK }=\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { AJ }=\frac { 2 } { 3 }.\frac { 1 } { 2 }\left ( { \overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AC } } \right )=\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AC } $ d) Đúng. Ta có $ G $ là trọng tâm của tam giác $ ΔABC $ suy ra $ CG $ đi qua trung điểm $ M $ của cạnh $ AB $ Ta có $ JM $ là đường trung bình của tam giác $ ΔABC $ Suy ra $ \overset\rightarrow { JM }=-\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC } $ Có $ \overset\rightarrow { JN }=\overset\rightarrow { JB }+\overset\rightarrow { BN }=-\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { BC }+\frac { 3 } { 4 }\overset\rightarrow { BG }=-\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { BC }+\frac { 3 } { 4 }.\frac { 2 } { 3 }\overset\rightarrow { BE }=-\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { BC }+\frac { 3 } { 4 }.\frac { 2 } { 3 }.\frac { 1 } { 2 }\left ( { \overset\rightarrow { BA }+\overset\rightarrow { BC } } \right ) $ Suy ra $ \overset\rightarrow { JN }=-\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { BC }+\frac { 1 } { 4 }\overset\rightarrow { BA }+\frac { 1 } { 4 }\overset\rightarrow { BC }=\frac { 1 } { 4 }\left ( { \overset\rightarrow { BA }-\overset\rightarrow { BC } } \right )=-\frac { 1 } { 4 }\overset\rightarrow { AC } $ Vậy $ \overset\rightarrow { JN }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { JM } $ hay $ M $ thuộc đường thẳng $ JN $ Suy ra ba đường thẳng $ AB $, $ JN $, $ CG $ đồng quy tại $ M $