Cho tam giác $ ABC $ có $ A\left ( { 0;3 } \right );B\left ( { -1;2 } \right );C\left ( { 2;1 } \right ) $. Điều kiện của tham số $ m $ để điểm $ M\left ( { m;m+2 } \right ) $ nằm bên trong tam giác $ ABC $ có dạng $ \frac { a } { 4 } < m < \frac { 1 } { b } $ với $ a;b $ là các số nguyên. Tính giá trị $ S=a+b $.

Đường thẳng $ AB:\frac { x-0 } { -1-0 }=\frac { y-3 } { 2-3 }⇔x-y+3=0 $. Đường thẳng $ AC:\frac { x-0 } { 2-0 }=\frac { y-3 } { 1-3 }⇔x+y-3=0 $. Đường thẳng $ BC:\frac { x-2 } { 2-(-1) }=\frac { y-1 } { 1-2 }⇔x+3y-5=0 $. Điểm $ M $ nằm bên trong tam giác $ ABC $ khi chỉ khi điểm $ M $ cùng với mỗi đỉnh $ A,B,C $ lần lượt cùng phía với nhau đối với cạnh $ BC,AC,AB $ $$⇔\left \{ \begin{array}{l} \left ( { 1.0+3.3-5 } \right ).\left[ m+3.\left ( { m+2 } \right )-5 \right]>0 \\ \left ( { 1.(-1)+1.2-3 } \right ).\left ( { m+m+2-3 } \right )>0 \\ \left ( { 2-1+3 } \right )⋅\left[ m-\left ( { m+2 } \right )+3 \right]>0 \end{array} \right. ⇔\left \{ \begin{array}{l} m>\frac { -1 } { 4 } \\ m < \frac { 1 } { 2 } \\ 4>0 \end{array} \right. ⇔\frac { -1 } { 4 } < m < \frac { 1 } { 2 } $$ Khi đó $ a=-1;b=2⇒S=a+b=1 $.