Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 42

Nhận xét: $\triangle ABC$ tù tại $A$ thì giữa $B$ và $C$ (cung $BC$ không chứa A) có ít nhất $n$ đỉnh của đa giác.
Chọn $A$ có $2n$ cách.
Với mỗi cách chọn A, không mất tính tổng quát giả sử $A\equiv A_0$.
Chọn 2 đỉnh $B$ và $C$ là $A_i,A_k$ thỏa mãn $1\leq i<k\leq2n-1$.
Giữa $B$ và $C$ cần ít nhất $n$ đỉnh nên $1\leq i<k-n\leq n-1$.
Số cách chọn 2 đỉnh $B$ và $C$ là $C_{n-1}^2$.
Vậy từ $2n$ đỉnh của hình $(H)$ lập được $2n\cdot C_{n-1}^2=2n\cdot\frac{(n-1)!}{2!(n-3)!}=n(n-1)(n-2)=n^3-3n^2+2n$ tam giác tù.