Xét tính đúng – sai của các khẳng định sau:

Xét tính đúng sai của từng phát biểu: - Phát biểu a) Sai. Khi phủ định mệnh đề chứa lượng từ $\forall$, ta phải đổi thành $\exists$. Mệnh đề phủ định đúng phải là: "$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \le 0$". - Phát biểu b) Sai. Khi phủ định mệnh đề chứa lượng từ $\exists$, ta phải đổi thành $\forall$. Mệnh đề phủ định đúng phải là: "$\forall x \in \mathbb{Z}, x^2 > 0$". - Phát biểu c) Sai. Với $x = 1$ hoặc $x = 3$ (đều thuộc đoạn $[1; 3]$), ta có $x^2 - 4x + 3 = 0$, không thỏa mãn bất đẳng thức $< 0$. Do đó, mệnh đề cho trước là mệnh đề sai. - Phát biểu d) Sai. Ta xét tính chia hết của biểu thức $T = (k+3)(k+4)(2k+7)$ với $k \in \mathbb{N}$ theo số dư của $k$ khi chia cho $3$: + Nếu $k = 3t$ ($t \in \mathbb{N}$): $(k+3) = 3t + 3 \vdots 3 \Rightarrow T \vdots 3$. + Nếu $k = 3t + 1$ ($t \in \mathbb{N}$): $(2k+7) = 2(3t+1) + 7 = 6t + 9 \vdots 3 \Rightarrow T \vdots 3$. + Nếu $k = 3t + 2$ ($t \in \mathbb{N}$): $(k+4) = 3t + 2 + 4 = 3t + 6 \vdots 3 \Rightarrow T \vdots 3$. Như vậy, với mọi số tự nhiên $k$, biểu thức luôn chia hết cho $3$. Do đó, mệnh đề tồn tại số $k$ để biểu thức không chia hết cho $3$ là một mệnh đề sai. Khẳng định cho rằng đây là "mệnh đề đúng" là một khẳng định sai.