Cho tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh bằng $2$. Nối các trung điểm $A_1, B_1, C_1$ của các cạnh $BC, CA, AB$ ta được tam giác đều $A_1B_1C_1$. Tiếp tục nối các trung điểm $A_2, B_2, C_2$ của các cạnh $B_1C_1, C_1A_1, A_1B_1$ ta được tam giác đều $A_2B_2C_2$, thực hiện quá trình này đến vô hạn. Gọi $S_n$ là diện tích của tam giác đều $A_nB_nC_n$. Tổng diện tích các tam giác đều $A_nB_nC_n$ ($n \in \mathbb{N}^*$) thu được là $S = \frac{a^2\sqrt{b}}{c}$. Khi đó tính $T = a + b^2 - c$?

Lời giải Diện tích tam giác $ABC$ là: $S_0 = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$. Ta có: $S_1 = \frac{1}{4}S_0, S_2 = \frac{1}{4}S_1, S_3 = \frac{1}{4}S_2, ...$ Do đó dãy số $(S_n)$ là một cấp số nhân với công bội $q = \frac{1}{4}$. Tổng diện tích các tam giác đều $A_nB_nC_n$ là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội $q = \frac{1}{4}$. Do đó tổng diện tích là: $$ S = S_1 + S_2 + S_3 + ... + S_n + ... = \frac{S_1}{1 - q} = \frac{\sqrt{3}}{3} $$ Vậy $a = 1$ và $b = c = 3$. Do đó $T = 1 + 3^2 - 3 = 7$.