Trong không gian $ Oxyz $, cho hình chóp đều $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông tâm $ O $, cạnh bằng $ 2\sqrt[] { 2 } $; cạnh bên $ SA=4 $ (Hình). Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

a) Sai. Ta có $ AB=2\sqrt[] { 2 }⇒OA=OB=2⇒A(0;-2;0) $. b) Đúng. Ta có $ OB=2⇒B(2;0;0) $; $ OS=\sqrt[] { SA ^ { 2 } -OA ^ { 2 } }=\sqrt[] { 16-4 }=2\sqrt[] { 3 }⇒S(0;0;2\sqrt[] { 3 }) $. Suy ra toạ độ của trọng tâm của tam giác $ SAB $ là $ G\left ( { \frac { 2 } { 3 };-\frac { 2 } { 3 };\frac { 2\sqrt[] { 3 } } { 3 } } \right ) $ c) Sai. Ta có $ C(0;2;0)⇒\overset\rightarrow { CE }=(a;-2;b),\overset\rightarrow { CG }=\left ( { \frac { 2 } { 3 };-\frac { 8 } { 3 };\frac { 2\sqrt[] { 3 } } { 3 } } \right ) $. Vì $ C,E,G $ thẳng hàng nên $ \overset\rightarrow { CE } $ cùng phương với $ \overset\rightarrow { CG } $ $ ⇒\frac { 3a } { 2 }=\frac { 3 } { 4 }=\frac { b\sqrt[] { 3 } } { 2 }⇒\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a=\frac { 1 } { 2 } \\ b=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } \\ \end{array} ⇒a⋅b=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 } \end{array} \right. $. d) Đúng. Do $ D $ đối xứng với $ B $ qua mặt phẳng $ (Oyz) $ nên với mọi điểm $ M $ trên mặt phẳng $ (Oyz) $, ta đều có $ MG+MB=MG+MD $. Do đó biểu thức $MG+MB$ nhỏ nhất khi $MG+MD$ nhỏ nhất, tức là khi $M$ là giao điểm của đoạn $GD$ với mặt phẳng $(Oyz)$. Ta có $D(-2;0;0)$ (đối xứng của $B(2;0;0)$ qua $(Oyz)$). Gọi $M$ là điểm trên đoạn $GD$ với $G\left ( { \frac { 2 } { 3 };-\frac { 2 } { 3 };\frac { 2\sqrt[] { 3 } } { 3 } } \right )$, tham số hóa $M=G+t(D-G)$, $t\in[0;1]$. Cho hoành độ bằng $0$: $\frac { 2 } { 3 }+t\left ( { -2-\frac { 2 } { 3 } } \right )=0⇒t=\frac { 1 } { 4 }$. Khi đó $m=-\frac { 2 } { 3 }+\frac { 1 } { 4 }\cdot\frac { 2 } { 3 }=-\frac { 1 } { 2 }$; $n=\frac { 2\sqrt[] { 3 } } { 3 }+\frac { 1 } { 4 }\left ( { -\frac { 2\sqrt[] { 3 } } { 3 } } \right )=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }$. Vậy $m ^ { 2 } +n ^ { 2 } =\frac { 1 } { 4 }+\frac { 3 } { 4 }=1$.