Trong không gian $ Oxyz $, cho tam giác $ ABC $ có $ I $ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Tính giá trị $ OI ^ { 2 } $ biết $ A\left ( { 2;2;-2 } \right ),B\left ( { 6;-4;2 } \right ),C\left ( { 8;-2;0 } \right ) $

Ta có: $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 4;-6;4 } \right ),\overset\rightarrow { CB }=\left ( { -2;-2;2 } \right ),\overset\rightarrow { CA }=\left ( { -6;4;-2 } \right ) $ Xét: $ \overset\rightarrow { CB }.\overset\rightarrow { CA }=\left ( { -2 } \right ).\left ( { -6 } \right )+4.\left ( { -2 } \right )+2\left ( { -2 } \right )=0 $. Suy ra tam giác $ ABC $ vuông tại C. Do đó, $ I $ là trung điểm $ BC $. Ta có: $ I\left ( { 7;-3;1 } \right )⇒OI ^ { 2 } =7 ^ { 2 } +\left ( { -3 } \right ) ^ { 2 } +1=59 $.