(HSG Vũng Tàu 2025) Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có $A(0; 0; 0), B(3; 0; 0), D(0; 3; 0), A'(0; 0; 3)$. Gọi $M, N$ lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh $BD, AD'$ sao cho $AN = DM$, $P$ là trung điểm $B'C'$, $K$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxz)$.

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai Lời giải a) Ta có: $C(3; 3; 0), D'(0; 3; 3), C'(3; 3; 3), B'(3; 0; 3)$. Vì $P$ là trung điểm $B'C'$ nên tọa độ là $P\Big(3; \frac{3}{2}; 3\Big)$. Trọng tâm của tam giác $PCD$ là $G\Big(2; \frac{5}{2}; 1\Big)$. b) Ta có: $$ \Big| \overrightarrow{KP} + \overrightarrow{KC} + \overrightarrow{KD} \Big| = \Big| 3\overrightarrow{KG} \Big| = 3KG $$ Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $KG$ nhỏ nhất. Do $K$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ nên $KG$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $K$ là hình chiếu của $G$ trên $(Oxz)$, lúc đó: $$ KG = d(G, Oxz) = \frac{5}{2} $$ c) Có $\overrightarrow{AP} = \Big(3; \frac{3}{2}; 3\Big)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AP$. $\overrightarrow{BC'} = (0; 3; 3)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $BC'$. Góc giữa hai đường thẳng $AP$ và $BC'$ là góc $\alpha$ với: $$ \cos\alpha = \frac{\Big| \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BC'} \Big|}{\Big| \overrightarrow{AP} \Big| \cdot \Big| \overrightarrow{BC'} \Big|} = \frac{\Big| 3\cdot0 + \frac{3}{2}\cdot3 + 3\cdot3 \Big|}{\sqrt{3^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2+3^2} \cdot \sqrt{0^2+3^2+3^2}} = \frac{\frac{27}{2}}{\frac{9}{2} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Suy ra góc giữa hai đường thẳng $AP$ và $BC'$ bằng $45^\circ$, khác $60^\circ$. d) Gọi $M, N$ lần lượt trên $BD, AD'$ với $DM=AN=t$ ($t \in [0; 3\sqrt{2}]$). $M = D + t\left(\frac{1}{\sqrt{2}}; -\frac{1}{\sqrt{2}}; 0\right) = \left(\frac{t}{\sqrt{2}}; 3-\frac{t}{\sqrt{2}}; 0\right)$, $N = A + t\left(0; \frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \left(0; \frac{t}{\sqrt{2}}; \frac{t}{\sqrt{2}}\right)$. $MN^2 = \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(t\sqrt{2}-3\right)^2 + \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)^2 = 3t^2 - 6\sqrt{2}t + 9$. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=\sqrt{2}$, khi đó $MN^2_{\min} = 3$, suy ra $MN_{\min} = \sqrt{3}$, khác $\sqrt{2}$.