Trong không gian $ Oxyz $, cho điểm $ M\left ( { 0\,;\,0\,;\,4 } \right ) $ và $ N\left ( { \frac { 3 } { 2 }\,;2\,;\,6 } \right ) $. Xét điểm $ I\left ( { a\,;\,b\,;\,c } \right ) $ thay đổi sao cho $ IN $ luôn vuông góc với $ OM $ và diện tích tam giác $ IMO $ bằng $ 8 $. Khi độ dài đoạn thẳng $ IN $ đạt giá trị lớn nhất, giá trị $ 5a+5b+c $ bằng bao nhiêu?

Ta có $ \overset\rightarrow { NI }=\left ( { a-\frac { 3 } { 2 }\,;\,b-2\,;\,\,c-6 } \right )\,;\,\,\overset\rightarrow { OM }=\left ( { 0\,;\,0\,;4 } \right ) $. $ IN⊥OM\,⇔\,\overset\rightarrow { NI }\,.\,\overset\rightarrow { OM }\,=\,0\,⇔\,4\left ( { c-6 } \right )=0\,⇔\,c=6 $. Ta thấy $ M\,,\,O\in Oz\,⇒S_{ ΔIMO } =\frac { 1 } { 2 }.\,OM.\,d\left ( { I,\,Oz } \right )=\frac { 1 } { 2 }.\,4.\sqrt[] { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } }=2\sqrt[] { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } } $ Từ giả thiết suy ra $ 2\sqrt[] { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } }=8\,⇔a ^ { 2 } +b ^ { 2 } =16 $. Suy ra $ IN ^ { 2 } =\left ( { a-\frac { 3 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { b-2 } \right ) ^ { 2 } =a ^ { 2 } +b ^ { 2 } -3a-4b+\frac { 25 } { 4 }=16-3a-4b+\frac { 25 } { 4 }=-3a-4b+\frac { 89 } { 4 } $ Ta có $ \left ( { 3a+4b } \right ) ^ { 2 } \leq \left ( { 9+16 } \right ).\left ( { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } } \right )⇔\left ( { 3a+4b } \right ) ^ { 2 } \leq 400⇔-20\leq 3a+4b\leq 20⇒-3a-4b\leq 20 $ $ ⇒IN ^ { 2 } \leq \frac { 169 } { 4 }⇔IN\leq \frac { 13 } { 2 } $ Dấu $ ''='' $ xảy ra $ ⇔\left \{ \begin{array}{l} \frac { a } { 3 }=\frac { b } { 4 } \\ -3a-4b=20 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=-\frac { 12 } { 5 } \\ b=-\frac { 16 } { 5 } \end{array} \right. $ $ ⇒5a+5b+c=-12-16+6=-22 $.